Tópicos de Ingeniería I: Electrónica analógica: Tarea 3

Por sus siglas de Frequency Addition Source of Optical Radiation

Un fasor es un vector utilizado para representar una onda, de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para determinar la magnitud y fase de varias ondas después de procesos de interferencia. Los fasores se utilizan directamente en óptica, ingeniería de telecomunicaciones y acústica. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de ondas, en electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene diferentes significados físicos.

Los fasores se usan comúnmente sobre todo para resolver visualmente problemas del tipo "existen varias ondas de frecuencia similar pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo sobre un punto, ¿cuál es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las ondas, y después simplemente se aplica la suma vectorial sobre ellos. La longitud del vector resultante en la amplitud de la onda resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener la intensidad. Nótese que mientras que la suma de varias ondas seno no es necesariamente otra onda seno, la suma de varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia sí lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante.

Una sinusoide u onda seno está definida como una función de la forma (la razón de utilizar una onda coseno en lugar de un seno será entendida posteriormente)

y = A cos(ω t + φ)

donde

y es la cantidad que varía con el tiempo
$φ$ es una constante (en radianes) conocida como el ángulo de fase de la sinusoide
A es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la función.
ω es la frecuencia angular dada por $ω = 2π f$ donde f es la frecuencia.
t es el tiempo.

Esto puede ser expresado como

$y=\Re\{A\big(\cos{(\omega{}t+\phi)}+i\sin{(\omega t+\phi)}\big)\}\,\!$

donde

i es la unidad imaginaria $\sqrt{-1}$ . En ingeniería eléctrica se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que se producirían con el mismo símbolo que se usa para designar la intensidad de la corriente eléctrica.
$\Re(z)\,\!$ da la parte real del número complejo "z".

De forma equivalente, según la formula de Euler,

$y=\Re(Ae^{i(\omega{}t+\phi)})\,\!$

$y=\Re(Ae^{i\phi}e^{i\omega{}t})\,\!$

"Y", la representación fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente:

$Y = Ae^{i \phi}\,$

de forma que

$y=\Re(Ye^{i\omega{}t})\,\!$

Así, el fasor Y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notación, los fasores se escriben habitualmente en notación angular:

$Y = A \angle \phi \,$

Definición de fasor: es una cantidad compleja que se emplea para representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal.

es un número complejo con:

módulo: la amplitud de la magnitud que representa.
fase: la fase de dicha magnitud en t=0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones.

Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la función:

diferenciando f(t):

Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:

Al final:

Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:

Aritmética fasorial

Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma exponencial polar $A e i φ$ simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma cartesiana (rectangular) $a + i b$ simplifica las sumas y restas.

Integración con fasores

Con la función h(t) definida como la integración de f(t):

Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las derivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por

y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.